פתור את {c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131}

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3.9x+y=359.7$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3.9x=-y+359.7$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.9, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

הכפל את ‎\frac{10}{39} ב- ‎-y+359.7.

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

השתמש ב- ‎-\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-1.8x-y=-131.

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

הכפל את ‎-1.8 ב- ‎-\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}.

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

הוסף את ‎\frac{6y}{13} ל- ‎-y.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

הוסף ‎\frac{10791}{65} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{13}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2276}{35} במקום y ב- ‎x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

הכפל את ‎-\frac{10}{39} ב- ‎-\frac{2276}{35} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

הוסף את ‎\frac{1199}{13} ל- ‎\frac{4552}{273} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{2287}{21}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

כדי להפוך את ‎\frac{39x}{10} ו- ‎-\frac{9x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1.8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.9.

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

פשט.

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

החסר את ‎-7.02x-3.9y=-510.9 מ- ‎-7.02x-1.8y=-647.46 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

הוסף את ‎-\frac{351x}{50} ל- ‎\frac{351x}{50}. האיברים ‎-\frac{351x}{50} ו- ‎\frac{351x}{50} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{5} ל- ‎\frac{39y}{10}.

$$2.1y=-647.46+510.9$$

הוסף את ‎-647.46 ל- ‎510.9 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2.1y=-136.56$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.1, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2276}{35} במקום y ב- ‎-1.8x-y=-131. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

החסר ‎\frac{2276}{35} משני אגפי המשוואה.

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-1.8, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{2287}{21}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$