פתור את {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-6$$

$$y=13$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$3x+y=-5$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y-5.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y-5}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x-y+1=0.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{-y-5}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

הוסף את ‎\frac{2y}{3} ל- ‎-y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

הוסף את ‎\frac{10}{3} ל- ‎1.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

החסר ‎\frac{13}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=13$$

השתמש ב- ‎13 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎13.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{3} ל- ‎-\frac{13}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-6,y=13$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-6,y=13$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

פשט.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

החסר את ‎-6x-3y+3=0 מ- ‎-6x-2y-10=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

הוסף את ‎-6x ל- ‎6x. האיברים ‎-6x ו- ‎6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y+3y-10-3=0$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎3y.

$$y-10-3=0$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎-3.

$$y-13=0$$

הוסף ‎13 לשני אגפי המשוואה.

$$y=13$$

השתמש ב- ‎13 במקום y ב- ‎-2x-y+1=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x-13+1=0$$

הוסף את ‎-13 ל- ‎1.

$$-2x-12=0$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$-2x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-6,y=13$$