פתור את {c}{3x+4y=12}{x+6y=-16}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 12 } \\ { x + 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{68}{7} = 9\frac{5}{7} \approx 9.714285714$$

$$y = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+4y=12$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-4y+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-4y+12.

$$x=-\frac{4}{3}y+4$$

השתמש ב- ‎-\frac{4y}{3}+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+6y=-16.

$$-\frac{4}{3}y+4+6y=-16$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{3} ל- ‎6y.

$$\frac{14}{3}y+4=-16$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{14}{3}y=-20$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{14}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{30}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{30}{7} במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{3}y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)+4$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎-\frac{30}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{40}{7}+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎\frac{40}{7}.

$$x=\frac{68}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4}&-\frac{4}{3\times 6-4}\\-\frac{1}{3\times 6-4}&\frac{3}{3\times 6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\left(-16\right)\\-\frac{1}{14}\times 12+\frac{3}{14}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{68}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3x+4y=12,3x+3\times 6y=3\left(-16\right)$$

פשט.

$$3x+4y=12,3x+18y=-48$$

החסר את ‎3x+18y=-48 מ- ‎3x+4y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+4y-18y=12+48$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-18y=12+48$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-18y.

$$-14y=12+48$$

הוסף את ‎12 ל- ‎48.

$$-14y=60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-14.

$$y=-\frac{30}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{30}{7} במקום y ב- ‎x+6y=-16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+6\left(-\frac{30}{7}\right)=-16$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-\frac{30}{7}.

$$x-\frac{180}{7}=-16$$

הוסף ‎\frac{180}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{68}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$