פתור את {c}{3x+2y=7}{x-y=1.5}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { x - y = 1.5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=7,x-y=1.5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=7$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+7}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=1.5.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}-y=1.5$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{3} ל- ‎-y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}=1.5$$

החסר ‎\frac{7}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{5}{6}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎\frac{1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-1+7}{3}$$

הוסף את ‎\frac{7}{3} ל- ‎-\frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=7,x-y=1.5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1.5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1.5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1.5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1.5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1.5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1.5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{2}{5}\times 1.5\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{3}{5}\times 1.5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=7,x-y=1.5$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3x+2y=7,3x+3\left(-1\right)y=3\times 1.5$$

פשט.

$$3x+2y=7,3x-3y=4.5$$

החסר את ‎3x-3y=4.5 מ- ‎3x+2y=7 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+2y+3y=7-4.5$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+3y=7-4.5$$

הוסף את ‎2y ל- ‎3y.

$$5y=7-4.5$$

הוסף את ‎7 ל- ‎-4.5.

$$5y=2.5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום y ב- ‎x-y=1.5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-\frac{1}{2}=1.5$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=\frac{1}{2}$$