פתור את {c}{3x+2y=32}{365x+226y=267.6}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 267.6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{8371}{65} = -128\frac{51}{65} \approx -128.784615385$$

$$y = \frac{27193}{130} = 209\frac{23}{130} \approx 209.176923077$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=32$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+32}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎365x+226y=267.6.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=267.6$$

הכפל את ‎365 ב- ‎\frac{-2y+32}{3}.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=267.6$$

הוסף את ‎-\frac{730y}{3} ל- ‎226y.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=267.6$$

החסר ‎\frac{11680}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54386}{15}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{52}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{27193}{130}$$

השתמש ב- ‎\frac{27193}{130} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{27193}{130}+\frac{32}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎\frac{27193}{130} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{27193}{195}+\frac{32}{3}$$

הוסף את ‎\frac{32}{3} ל- ‎-\frac{27193}{195} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 267.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 267.6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8371}{65}\\\frac{27193}{130}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎365x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎365 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 267.6$$

פשט.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=802.8$$

החסר את ‎1095x+678y=802.8 מ- ‎1095x+730y=11680 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-802.8$$

הוסף את ‎1095x ל- ‎-1095x. האיברים ‎1095x ו- ‎-1095x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$730y-678y=11680-802.8$$

הוסף את ‎730y ל- ‎-678y.

$$52y=11680-802.8$$

הוסף את ‎11680 ל- ‎-802.8.

$$52y=10877.2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎52.

$$y=\frac{27193}{130}$$

השתמש ב- ‎\frac{27193}{130} במקום y ב- ‎365x+226y=267.6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$365x+226\times \frac{27193}{130}=267.6$$

הכפל את ‎226 ב- ‎\frac{27193}{130}.

$$365x+\frac{3072809}{65}=267.6$$

החסר ‎\frac{3072809}{65} משני אגפי המשוואה.

$$365x=-\frac{611083}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎365.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$