פתור את {c}{2.7x+3.1y=42.5}{x+y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 2.7 x + 3.1 y = 42.5 } \\ { x + y = 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2.7x+3.1y=42.5$$

החסר ‎\frac{31y}{10} משני אגפי המשוואה.

$$2.7x=-3.1y+42.5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.7, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{10}{27}\left(-3.1y+42.5\right)$$

הכפל את ‎\frac{10}{27} ב- ‎-\frac{31y}{10}+42.5.

$$x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}$$

השתמש ב- ‎\frac{-31y+425}{27} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=15.

$$-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}+y=15$$

הוסף את ‎-\frac{31y}{27} ל- ‎y.

$$-\frac{4}{27}y+\frac{425}{27}=15$$

החסר ‎\frac{425}{27} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{4}{27}y=-\frac{20}{27}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{4}{27}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{31}{27}\times 5+\frac{425}{27}$$

הכפל את ‎-\frac{31}{27} ב- ‎5.

$$x=\frac{-155+425}{27}$$

הוסף את ‎\frac{425}{27} ל- ‎-\frac{155}{27} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2.7-3.1}&-\frac{3.1}{2.7-3.1}\\-\frac{1}{2.7-3.1}&\frac{2.7}{2.7-3.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5&7.75\\2.5&-6.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5\times 42.5+7.75\times 15\\2.5\times 42.5-6.75\times 15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=10,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

כדי להפוך את ‎\frac{27x}{10} ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.7.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=2.7\times 15$$

פשט.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=40.5$$

החסר את ‎2.7x+2.7y=40.5 מ- ‎2.7x+3.1y=42.5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2.7x-2.7x+3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

הוסף את ‎\frac{27x}{10} ל- ‎-\frac{27x}{10}. האיברים ‎\frac{27x}{10} ו- ‎-\frac{27x}{10} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

הוסף את ‎\frac{31y}{10} ל- ‎-\frac{27y}{10}.

$$0.4y=\frac{85-81}{2}$$

הוסף את ‎42.5 ל- ‎-40.5 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$0.4y=2$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.4, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x+y=15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+5=15$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$x=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=10,y=5$$