פתור את {c}{2x+y=5}{3x-4y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 5 } \\ { 3 x - 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=5,3x-4y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=5$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-4y=2.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-y+5}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}-4y=2$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎-4y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{15}{2}=2$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{11}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎-\frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=5,3x-4y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-4\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-4\right)-3}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 5+\frac{1}{11}\times 2\\\frac{3}{11}\times 5-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=5,3x-4y=2$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 2$$

פשט.

$$6x+3y=15,6x-8y=4$$

החסר את ‎6x-8y=4 מ- ‎6x+3y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+3y+8y=15-4$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y+8y=15-4$$

הוסף את ‎3y ל- ‎8y.

$$11y=15-4$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-4.

$$11y=11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎3x-4y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-4=2$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=1$$