פתור את {c}{2x+y=5}{-4x+6y=12}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 5 } \\ { - 4 x + 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=5$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x+6y=12.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=12$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{-y+5}{2}.

$$2y-10+6y=12$$

הוסף את ‎2y ל- ‎6y.

$$8y-10=12$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$8y=22$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$y=\frac{11}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{11}{4} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{11}{4}+\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎\frac{11}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{11}{8}+\frac{5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎-\frac{11}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{9}{8}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{16}\times 12\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-4\times 2x-4y=-4\times 5,2\left(-4\right)x+2\times 6y=2\times 12$$

פשט.

$$-8x-4y=-20,-8x+12y=24$$

החסר את ‎-8x+12y=24 מ- ‎-8x-4y=-20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-8x+8x-4y-12y=-20-24$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎8x. האיברים ‎-8x ו- ‎8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y-12y=-20-24$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-12y.

$$-16y=-20-24$$

הוסף את ‎-20 ל- ‎-24.

$$-16y=-44$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-16.

$$y=\frac{11}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{11}{4} במקום y ב- ‎-4x+6y=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x+6\times \frac{11}{4}=12$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{11}{4}.

$$-4x+\frac{33}{2}=12$$

החסר ‎\frac{33}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-\frac{9}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=\frac{9}{8}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$