פתור את {c}{2x+7y=77}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 7 y = 77 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{168}{11} = 15\frac{3}{11} \approx 15.272727273$$

$$y = \frac{73}{11} = 6\frac{7}{11} \approx 6.636363636$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+7y=77$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-7y+77$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+77\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-7y+77.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-7y+77}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-2y=2.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}-2y=2$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{2} ל- ‎-2y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{77}{2}=2$$

החסר ‎\frac{77}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{73}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{73}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{73}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{73}{11}+\frac{77}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{7}{2} ב- ‎\frac{73}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{511}{22}+\frac{77}{2}$$

הוסף את ‎\frac{77}{2} ל- ‎-\frac{511}{22} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{168}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-7}&-\frac{7}{2\left(-2\right)-7}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-7}&\frac{2}{2\left(-2\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 77+\frac{7}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 77-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168}{11}\\\frac{73}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x+7y=77,2x+2\left(-2\right)y=2\times 2$$

פשט.

$$2x+7y=77,2x-4y=4$$

החסר את ‎2x-4y=4 מ- ‎2x+7y=77 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+7y+4y=77-4$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7y+4y=77-4$$

הוסף את ‎7y ל- ‎4y.

$$11y=77-4$$

הוסף את ‎77 ל- ‎-4.

$$11y=73$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=\frac{73}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{73}{11} במקום y ב- ‎x-2y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-2\times \frac{73}{11}=2$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{73}{11}.

$$x-\frac{146}{11}=2$$

הוסף ‎\frac{146}{11} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{168}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$