פתור את {c}{2x+5y=3}{y+x=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 5 y = 3 } \\ { y + x = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+5y=3,x+y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+5y=3$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5y+3.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+3}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=2.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}+y=2$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{2} ל- ‎y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=2$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{2}y=\frac{1}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎-\frac{1}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{5}{6}+\frac{3}{2}$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎\frac{5}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{7}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+5y=3,x+y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5}&-\frac{5}{2-5}\\-\frac{1}{2-5}&\frac{2}{2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3+\frac{5}{3}\times 2\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+5y=3,x+y=2$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x+5y=3,2x+2y=2\times 2$$

פשט.

$$2x+5y=3,2x+2y=4$$

החסר את ‎2x+2y=4 מ- ‎2x+5y=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+5y-2y=3-4$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y-2y=3-4$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-2y.

$$3y=3-4$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-4.

$$3y=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{3} במקום y ב- ‎x+y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-\frac{1}{3}=2$$

הוסף ‎\frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{7}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{1}{3}$$