פתור את {c}{2x+3y-10=0}{4x=3y+20}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y - 10 = 0 } \\ { 4 x = 3 y + 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎10 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$2x+3y=10$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$4x-3y=20$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=10$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-3y=20.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)-3y=20$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20-3y=20$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-3y.

$$-9y+20=20$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$-9y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎10 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$2x+3y=10$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$4x-3y=20$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{9}\times 10-\frac{1}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎10 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$2x+3y=10$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$4x-3y=20$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 20$$

פשט.

$$8x+12y=40,8x-6y=40$$

החסר את ‎8x-6y=40 מ- ‎8x+12y=40 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+12y+6y=40-40$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y+6y=40-40$$

הוסף את ‎12y ל- ‎6y.

$$18y=40-40$$

הוסף את ‎40 ל- ‎-40.

$$18y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎4x-3y=20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=0$$