פתור את {c}{2x+2y=4}{-2x+3y=-9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { - 2 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+2y=4$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-2y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-2y+4.

$$x=-y+2$$

השתמש ב- ‎-y+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x+3y=-9.

$$-2\left(-y+2\right)+3y=-9$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-y+2.

$$2y-4+3y=-9$$

הוסף את ‎2y ל- ‎3y.

$$5y-4=-9$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$5y=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=-y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-1\right)+2$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-1.

$$x=1+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎1.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-2\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\left(-9\right)\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-2\times 2x-2\times 2y=-2\times 4,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\left(-9\right)$$

פשט.

$$-4x-4y=-8,-4x+6y=-18$$

החסר את ‎-4x+6y=-18 מ- ‎-4x-4y=-8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-4x+4x-4y-6y=-8+18$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎4x. האיברים ‎-4x ו- ‎4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y-6y=-8+18$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-6y.

$$-10y=-8+18$$

הוסף את ‎-8 ל- ‎18.

$$-10y=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎-2x+3y=-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x+3\left(-1\right)=-9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-1.

$$-2x-3=-9$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$-2x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-1$$