פתור את {c}{10a+b=10}{-a+b=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 a + b = 10 } \\ { - a + b = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=\frac{8}{11}\approx 0.727272727$$

$$b = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$10a+b=10$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$10a=-b+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{10} ב- ‎-b+10.

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

השתמש ב- ‎-\frac{b}{10}+1 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎-a+b=2.

$$-\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=2$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-\frac{b}{10}+1.

$$\frac{1}{10}b-1+b=2$$

הוסף את ‎\frac{b}{10} ל- ‎b.

$$\frac{11}{10}b-1=2$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{10}b=3$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{10}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=\frac{30}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{30}{11} במקום b ב- ‎a=-\frac{1}{10}b+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}+1$$

הכפל את ‎-\frac{1}{10} ב- ‎\frac{30}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=-\frac{3}{11}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-\frac{3}{11}.

$$a=\frac{8}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-1\right)}&-\frac{1}{10-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{10-\left(-1\right)}&\frac{10}{10-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 10+\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

החסר את ‎-a+b=2 מ- ‎10a+b=10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10a+a+b-b=10-2$$

הוסף את ‎b ל- ‎-b. האיברים ‎b ו- ‎-b מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10a+a=10-2$$

הוסף את ‎10a ל- ‎a.

$$11a=10-2$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-2.

$$11a=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$a=\frac{8}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{11} במקום a ב- ‎-a+b=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את b ישירות.

$$-\frac{8}{11}+b=2$$

הוסף ‎\frac{8}{11} לשני אגפי המשוואה.

$$b=\frac{30}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$