פתור את {c}{-4x+2y=-30}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { c } { - 4 x + 2 y = - 30 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=7$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-4x+2y=-30,4x+8y=20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-4x+2y=-30$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-2y-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-2y-30\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎-2y-30.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{15+y}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+8y=20.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}\right)+8y=20$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{15+y}{2}.

$$2y+30+8y=20$$

הוסף את ‎2y ל- ‎8y.

$$10y+30=20$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$10y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{15}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-1+15}{2}$$

הוסף את ‎\frac{15}{2} ל- ‎-\frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-4x+2y=-30,4x+8y=20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-4\times 8-2\times 4}&-\frac{2}{-4\times 8-2\times 4}\\-\frac{4}{-4\times 8-2\times 4}&-\frac{4}{-4\times 8-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-30\right)+\frac{1}{20}\times 20\\\frac{1}{10}\left(-30\right)+\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=7,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-4x+2y=-30,4x+8y=20$$

כדי להפוך את ‎-4x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-4.

$$4\left(-4\right)x+4\times 2y=4\left(-30\right),-4\times 4x-4\times 8y=-4\times 20$$

פשט.

$$-16x+8y=-120,-16x-32y=-80$$

החסר את ‎-16x-32y=-80 מ- ‎-16x+8y=-120 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-16x+16x+8y+32y=-120+80$$

הוסף את ‎-16x ל- ‎16x. האיברים ‎-16x ו- ‎16x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8y+32y=-120+80$$

הוסף את ‎8y ל- ‎32y.

$$40y=-120+80$$

הוסף את ‎-120 ל- ‎80.

$$40y=-40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎40.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎4x+8y=20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+8\left(-1\right)=20$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-1.

$$4x-8=20$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$4x=28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=-1$$