פתור את {c}{-3x+5y=2}{x+10y=-24}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x + 5 y = 2 } \\ { x + 10 y = - 24 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-3x+5y=2$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-5y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+2\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-5y+2.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y-2}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+10y=-24.

$$\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}+10y=-24$$

הוסף את ‎\frac{5y}{3} ל- ‎10y.

$$\frac{35}{3}y-\frac{2}{3}=-24$$

הוסף ‎\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{35}{3}y=-\frac{70}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{35}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-10-2}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{2}{3} ל- ‎-\frac{10}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-3\times 10-5}&-\frac{5}{-3\times 10-5}\\-\frac{1}{-3\times 10-5}&-\frac{3}{-3\times 10-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{35}&\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\left(-24\right)\\\frac{1}{35}\times 2+\frac{3}{35}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-4,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

כדי להפוך את ‎-3x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-3.

$$-3x+5y=2,-3x-3\times 10y=-3\left(-24\right)$$

פשט.

$$-3x+5y=2,-3x-30y=72$$

החסר את ‎-3x-30y=72 מ- ‎-3x+5y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3x+3x+5y+30y=2-72$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎3x. האיברים ‎-3x ו- ‎3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y+30y=2-72$$

הוסף את ‎5y ל- ‎30y.

$$35y=2-72$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-72.

$$35y=-70$$

חלק את שני האגפים ב- ‎35.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x+10y=-24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+10\left(-2\right)=-24$$

הכפל את ‎10 ב- ‎-2.

$$x-20=-24$$

הוסף ‎20 לשני אגפי המשוואה.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=-2$$