פתור את {c}{-3x+2y=8}{2x-2y=-5}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x + 2 y = 8 } \\ { 2 x - 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-3x+2y=8,2x-2y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-3x+2y=8$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-2y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-2y+8.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-8+2y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-2y=-5.

$$2\left(\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}\right)-2y=-5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-8+2y}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{16}{3}-2y=-5$$

הוסף את ‎\frac{4y}{3} ל- ‎-2y.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{16}{3}=-5$$

הוסף ‎\frac{16}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{1}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{2}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{8}{3}$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎-\frac{1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-1-8}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{8}{3} ל- ‎-\frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-3x+2y=8,2x-2y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-3&2\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-3\left(-2\right)-2\times 2}&-\frac{2}{-3\left(-2\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{-3\left(-2\right)-2\times 2}&-\frac{3}{-3\left(-2\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8-\left(-5\right)\\-8-\frac{3}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-3x+2y=8,2x-2y=-5$$

כדי להפוך את ‎-3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-3.

$$2\left(-3\right)x+2\times 2y=2\times 8,-3\times 2x-3\left(-2\right)y=-3\left(-5\right)$$

פשט.

$$-6x+4y=16,-6x+6y=15$$

החסר את ‎-6x+6y=15 מ- ‎-6x+4y=16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-6x+6x+4y-6y=16-15$$

הוסף את ‎-6x ל- ‎6x. האיברים ‎-6x ו- ‎6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-6y=16-15$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-6y.

$$-2y=16-15$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-15.

$$-2y=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום y ב- ‎2x-2y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-2\left(-\frac{1}{2}\right)=-5$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-\frac{1}{2}.

$$2x+1=-5$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$2x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$