פתור את {c}{-2x+9y=8}{x-2y=6}

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x + 9 y = 8 } \\ { x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=14$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-2x+9y=8$$

החסר ‎9y משני אגפי המשוואה.

$$-2x=-9y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9y+8\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-9y+8.

$$x=\frac{9}{2}y-4$$

השתמש ב- ‎\frac{9y}{2}-4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-2y=6.

$$\frac{9}{2}y-4-2y=6$$

הוסף את ‎\frac{9y}{2} ל- ‎-2y.

$$\frac{5}{2}y-4=6$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{2}y=10$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=\frac{9}{2}y-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{9}{2}\times 4-4$$

הכפל את ‎\frac{9}{2} ב- ‎4.

$$x=18-4$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎18.

$$x=14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=14,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{9}{-2\left(-2\right)-9}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{9}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{9}{5}\times 6\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=14,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

כדי להפוך את ‎-2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-2.

$$-2x+9y=8,-2x-2\left(-2\right)y=-2\times 6$$

פשט.

$$-2x+9y=8,-2x+4y=-12$$

החסר את ‎-2x+4y=-12 מ- ‎-2x+9y=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x+9y-4y=8+12$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y-4y=8+12$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-4y.

$$5y=8+12$$

הוסף את ‎8 ל- ‎12.

$$5y=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x-2y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-2\times 4=6$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎4.

$$x-8=6$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$x=14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=14,y=4$$