פתור את {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=26$$

$$b=-38$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎-b+1.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2b+2}{3} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎a+\frac{1}{2}b=7.

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

הוסף את ‎-\frac{2b}{3} ל- ‎\frac{b}{2}.

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

החסר ‎\frac{2}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-6.

$$b=-38$$

השתמש ב- ‎-38 במקום b ב- ‎a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎-38.

$$a=\frac{76+2}{3}$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎\frac{76}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=26$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=26,b=-38$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=26,b=-38$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

כדי להפוך את ‎\frac{3a}{2} ו- ‎a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

פשט.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

החסר את ‎\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} מ- ‎\frac{3}{2}a+b=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

הוסף את ‎\frac{3a}{2} ל- ‎-\frac{3a}{2}. האיברים ‎\frac{3a}{2} ו- ‎-\frac{3a}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

הוסף את ‎b ל- ‎-\frac{3b}{4}.

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-\frac{21}{2}.

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎4.

$$b=-38$$

השתמש ב- ‎-38 במקום b ב- ‎a+\frac{1}{2}b=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-38.

$$a-19=7$$

הוסף ‎19 לשני אגפי המשוואה.

$$a=26$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=26,b=-38$$