פתור את {c}{1/2a+b=-2}{a-2b=8}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } a + b = - 2 } \\ { a - 2 b = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=2$$

$$b=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\frac{1}{2}a+b=-2$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{2}a=-b-2$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$a=2\left(-b-2\right)$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-b-2.

$$a=-2b-4$$

השתמש ב- ‎-2b-4 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎a-2b=8.

$$-2b-4-2b=8$$

הוסף את ‎-2b ל- ‎-2b.

$$-4b-4=8$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$-4b=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$b=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום b ב- ‎a=-2b-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-2\left(-3\right)-4$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-3.

$$a=6-4$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎6.

$$a=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=2,b=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=2,b=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

כדי להפוך את ‎\frac{a}{2} ו- ‎a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\left(-2\right)b=\frac{1}{2}\times 8$$

פשט.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a-b=4$$

החסר את ‎\frac{1}{2}a-b=4 מ- ‎\frac{1}{2}a+b=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+b+b=-2-4$$

הוסף את ‎\frac{a}{2} ל- ‎-\frac{a}{2}. האיברים ‎\frac{a}{2} ו- ‎-\frac{a}{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$b+b=-2-4$$

הוסף את ‎b ל- ‎b.

$$2b=-2-4$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-4.

$$2b=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$b=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום b ב- ‎a-2b=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a-2\left(-3\right)=8$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-3.

$$a+6=8$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$a=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=2,b=-3$$