פתור את {c}{1/10x+1/2y=1}{2x-10y=-20}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { 2 x - 10 y = - 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1$$

החסר ‎\frac{y}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{10}x=-\frac{1}{2}y+1$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=10\left(-\frac{1}{2}y+1\right)$$

הכפל את ‎10 ב- ‎-\frac{y}{2}+1.

$$x=-5y+10$$

השתמש ב- ‎-5y+10 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-10y=-20.

$$2\left(-5y+10\right)-10y=-20$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-5y+10.

$$-10y+20-10y=-20$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎-10y.

$$-20y+20=-20$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$-20y=-40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-20.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-5y+10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-5\times 2+10$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎2.

$$x=-10+10$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-10.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\\-\frac{2}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&\frac{1}{4}\\1&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5+\frac{1}{4}\left(-20\right)\\1-\frac{1}{20}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

כדי להפוך את ‎\frac{x}{10} ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎\frac{1}{10}.

$$2\times \frac{1}{10}x+2\times \frac{1}{2}y=2,\frac{1}{10}\times 2x+\frac{1}{10}\left(-10\right)y=\frac{1}{10}\left(-20\right)$$

פשט.

$$\frac{1}{5}x+y=2,\frac{1}{5}x-y=-2$$

החסר את ‎\frac{1}{5}x-y=-2 מ- ‎\frac{1}{5}x+y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}x+y+y=2+2$$

הוסף את ‎\frac{x}{5} ל- ‎-\frac{x}{5}. האיברים ‎\frac{x}{5} ו- ‎-\frac{x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y+y=2+2$$

הוסף את ‎y ל- ‎y.

$$2y=2+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎2.

$$2y=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎2x-10y=-20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-10\times 2=-20$$

הכפל את ‎-10 ב- ‎2.

$$2x-20=-20$$

הוסף ‎20 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=2$$