פתור את {|lll|}{1998}&{1999}&{2000}{2001}&{2002}&{2003}{2004}&{2005}&{2006}

$$\left. \begin{array} { | l l l | } { 1998 } & { 1999 } & { 2000 } \\ { 2001 } & { 2002 } & { 2003 } \\ { 2004 } & { 2005 } & { 2006 } \end{array} \right.$$

חשב דטרמיננטה

$$0$$

שלבים הכוללים שימוש בכלל סארוס

מצא את דטרמיננטת המטריצה באמצעות שיטת האלכסונים.

$$det(\left(\begin{matrix}1998&1999&2000\\2001&2002&2003\\2004&2005&2006\end{matrix}\right))$$

הרחב את המטריצה המקורית על-ידי חזרה על שתי העמודות הראשונות כעמודה הרביעית והעמודה החמישית.

$$\left(\begin{matrix}1998&1999&2000&1998&1999\\2001&2002&2003&2001&2002\\2004&2005&2006&2004&2005\end{matrix}\right)$$

החל מהערך השמאלי העליון, הכפל כלפי מטה לאורך האלכסונים וחבר את המכפלות המתקבלות.

$$1998\times 2002\times 2006+1999\times 2003\times 2004+2000\times 2001\times 2005=24072011964$$

החל מהערך השמאלי התחתון, הכפל כלפי מעלה לאורך האלכסונים וחבר את המכפלות המתקבלות.

$$2004\times 2002\times 2000+2005\times 2003\times 1998+2006\times 2001\times 1999=24072011964$$

הפחת את הסכום של המכפלות האלכסוניות כלפי מעלה מהסכום של המכפלות האלכסוניות כלפי מטה.

$$24072011964-24072011964$$

החסר ‎24072011964 מ- ‎24072011964.

$$0$$

שלבים הכוללים שימוש בפיתוח לפי מינורים

מצא את דטרמיננטת המטריצה באמצעות שיטת הפיתוח לפי מינורים (המכונה גם פיתוח לפי קו-פקטורים).

$$det(\left(\begin{matrix}1998&1999&2000\\2001&2002&2003\\2004&2005&2006\end{matrix}\right))$$

כדי לפתח לפי מינורים, הכפל כל רכיב של השורה הראשונה במינור שלו, שהוא הדטרמיננטה של מטריצת 2\times 2 שנוצרת על-ידי מחיקת השורה והעמודה המכילות רכיב זה, ולאחר מכן הכפל בסימן המיקום של הרכיב.

$$1998det(\left(\begin{matrix}2002&2003\\2005&2006\end{matrix}\right))-1999det(\left(\begin{matrix}2001&2003\\2004&2006\end{matrix}\right))+2000det(\left(\begin{matrix}2001&2002\\2004&2005\end{matrix}\right))$$

עבור מטריצת 2\times 2 של \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), דטרמיננטה זו ad-bc.

$$1998\left(2002\times 2006-2005\times 2003\right)-1999\left(2001\times 2006-2004\times 2003\right)+2000\left(2001\times 2005-2004\times 2002\right)$$

פשט.

$$1998\left(-3\right)-1999\left(-6\right)+2000\left(-3\right)$$

חבר את האיברים כדי להגיע לתוצאה הסופית.

$$0$$

הערך

$$\left(\begin{matrix}1998&1999&2000\\2001&2002&2003\\2004&2005&2006\end{matrix}\right)$$