פתור את {ccc}{3}&{-2}&{4}{2}&{-4}&{5}{1}&{8}&{2}

$$\left( \begin{array} { c c c } { 3 } & { - 2 } & { 4 } \\ { 2 } & { - 4 } & { 5 } \\ { 1 } & { 8 } & { 2 } \end{array} \right)$$

חשב דטרמיננטה

$$-66$$

שלבים הכוללים שימוש בכלל סארוס

מצא את דטרמיננטת המטריצה באמצעות שיטת האלכסונים.

$$det(\left(\begin{matrix}3&-2&4\\2&-4&5\\1&8&2\end{matrix}\right))$$

הרחב את המטריצה המקורית על-ידי חזרה על שתי העמודות הראשונות כעמודה הרביעית והעמודה החמישית.

$$\left(\begin{matrix}3&-2&4&3&-2\\2&-4&5&2&-4\\1&8&2&1&8\end{matrix}\right)$$

החל מהערך השמאלי העליון, הכפל כלפי מטה לאורך האלכסונים וחבר את המכפלות המתקבלות.

$$3\left(-4\right)\times 2-2\times 5+4\times 2\times 8=30$$

החל מהערך השמאלי התחתון, הכפל כלפי מעלה לאורך האלכסונים וחבר את המכפלות המתקבלות.

$$-4\times 4+8\times 5\times 3+2\times 2\left(-2\right)=96$$

הפחת את הסכום של המכפלות האלכסוניות כלפי מעלה מהסכום של המכפלות האלכסוניות כלפי מטה.

$$30-96$$

החסר ‎96 מ- ‎30.

$$-66$$

שלבים הכוללים שימוש בפיתוח לפי מינורים

מצא את דטרמיננטת המטריצה באמצעות שיטת הפיתוח לפי מינורים (המכונה גם פיתוח לפי קו-פקטורים).

$$det(\left(\begin{matrix}3&-2&4\\2&-4&5\\1&8&2\end{matrix}\right))$$

כדי לפתח לפי מינורים, הכפל כל רכיב של השורה הראשונה במינור שלו, שהוא הדטרמיננטה של מטריצת 2\times 2 שנוצרת על-ידי מחיקת השורה והעמודה המכילות רכיב זה, ולאחר מכן הכפל בסימן המיקום של הרכיב.

$$3det(\left(\begin{matrix}-4&5\\8&2\end{matrix}\right))-\left(-2det(\left(\begin{matrix}2&5\\1&2\end{matrix}\right))\right)+4det(\left(\begin{matrix}2&-4\\1&8\end{matrix}\right))$$

עבור מטריצת 2\times 2 של \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), דטרמיננטה זו ad-bc.

$$3\left(-4\times 2-8\times 5\right)-\left(-2\left(2\times 2-5\right)\right)+4\left(2\times 8-\left(-4\right)\right)$$

פשט.

$$3\left(-48\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)+4\times 20$$

חבר את האיברים כדי להגיע לתוצאה הסופית.

$$-66$$

הערך

$$\left(\begin{matrix}3&-2&4\\2&-4&5\\1&8&2\end{matrix}\right)$$