פתור את {l}{x-2(x+y)=3y-2}{x/3+y/2=3}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x - 2 ( x + y ) = 3 y - 2 }\\{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 3 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=12$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

כנס את ‎x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-x.

$$-x-2y=3y-2$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$-x-2y-3y=-2$$

כנס את ‎-2y ו- ‎-3y כדי לקבל ‎-5y.

$$-x-5y=-2$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2x+3y=18$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x-5y=-2$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$-x=5y-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\left(5y-2\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎5y-2.

$$x=-5y+2$$

השתמש ב- ‎-5y+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=18.

$$2\left(-5y+2\right)+3y=18$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-5y+2.

$$-10y+4+3y=18$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎3y.

$$-7y+4=18$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$-7y=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=-5y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-5\left(-2\right)+2$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-2.

$$x=10+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎10.

$$x=12$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=12,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

כנס את ‎x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-x.

$$-x-2y=3y-2$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$-x-2y-3y=-2$$

כנס את ‎-2y ו- ‎-3y כדי לקבל ‎-5y.

$$-x-5y=-2$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2x+3y=18$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{5}{7}\times 18\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)-\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=12,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

כנס את ‎x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-x.

$$-x-2y=3y-2$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$-x-2y-3y=-2$$

כנס את ‎-2y ו- ‎-3y כדי לקבל ‎-5y.

$$-x-5y=-2$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2.

$$2x+3y=18$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-2\right),-2x-3y=-18$$

פשט.

$$-2x-10y=-4,-2x-3y=-18$$

החסר את ‎-2x-3y=-18 מ- ‎-2x-10y=-4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x-10y+3y=-4+18$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-10y+3y=-4+18$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎3y.

$$-7y=-4+18$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎18.

$$-7y=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎2x+3y=18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3\left(-2\right)=18$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-2.

$$2x-6=18$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=12$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=12,y=-2$$