פתור את {l}{6x+y=4}{x-4y=19}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 6 x + y = 4 }\\{ x - 4 y = 19 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+y=4$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-y+4.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{6}+\frac{2}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-4y=19.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

הוסף את ‎-\frac{y}{6} ל- ‎-4y.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

החסר ‎\frac{2}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{25}{6}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{22}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{22}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{6} ב- ‎-\frac{22}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎\frac{11}{15} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{7}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

פשט.

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

החסר את ‎6x-24y=114 מ- ‎6x+y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y+24y=4-114$$

הוסף את ‎y ל- ‎24y.

$$25y=4-114$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-114.

$$25y=-110$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$y=-\frac{22}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{22}{5} במקום y ב- ‎x-4y=19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{22}{5}.

$$x+\frac{88}{5}=19$$

החסר ‎\frac{88}{5} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{7}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$