פתור את {l}{4x-y=11}{-2x+3y=-3}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x - y = 11 }\\{ - 2 x + 3 y = - 3 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-y=11$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=y+11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+11\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎y+11.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{11+y}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x+3y=-3.

$$-2\left(\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}\right)+3y=-3$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{11+y}{4}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{11}{2}+3y=-3$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎3y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}=-3$$

הוסף ‎\frac{11}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1+11}{4}$$

הוסף את ‎\frac{11}{4} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 11+\frac{1}{10}\left(-3\right)\\\frac{1}{5}\times 11+\frac{2}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-2\times 4x-2\left(-1\right)y=-2\times 11,4\left(-2\right)x+4\times 3y=4\left(-3\right)$$

פשט.

$$-8x+2y=-22,-8x+12y=-12$$

החסר את ‎-8x+12y=-12 מ- ‎-8x+2y=-22 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-8x+8x+2y-12y=-22+12$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎8x. האיברים ‎-8x ו- ‎8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-12y=-22+12$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-12y.

$$-10y=-22+12$$

הוסף את ‎-22 ל- ‎12.

$$-10y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎-2x+3y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x+3=-3$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$-2x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=1$$