פתור את {l}{4x+y=-2}{5x-2y=-48}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x + y = - 2 }\\{ 5 x - 2 y = - 48 }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-4$$

$$y=14$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+y=-2$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-y-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-y-2.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{4}-\frac{1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-2y=-48.

$$5\left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)-2y=-48$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{y}{4}-\frac{1}{2}.

$$-\frac{5}{4}y-\frac{5}{2}-2y=-48$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{4} ל- ‎-2y.

$$-\frac{13}{4}y-\frac{5}{2}=-48$$

הוסף ‎\frac{5}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{91}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{13}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=14$$

השתמש ב- ‎14 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{4}\times 14-\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎14.

$$x=\frac{-7-1}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{2} ל- ‎-\frac{7}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=14$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{4\left(-2\right)-5}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-2\right)+\frac{1}{13}\left(-48\right)\\\frac{5}{13}\left(-2\right)-\frac{4}{13}\left(-48\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\14\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-4,y=14$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$5\times 4x+5y=5\left(-2\right),4\times 5x+4\left(-2\right)y=4\left(-48\right)$$

פשט.

$$20x+5y=-10,20x-8y=-192$$

החסר את ‎20x-8y=-192 מ- ‎20x+5y=-10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x+5y+8y=-10+192$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y+8y=-10+192$$

הוסף את ‎5y ל- ‎8y.

$$13y=-10+192$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎192.

$$13y=182$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$y=14$$

השתמש ב- ‎14 במקום y ב- ‎5x-2y=-48. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-2\times 14=-48$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎14.

$$5x-28=-48$$

הוסף ‎28 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=14$$