פתור את {l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5 ב- 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

כנס את ‎60y ו- ‎-40y כדי לקבל ‎20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

החסר ‎12x משני האגפים.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

כנס את ‎9x ו- ‎-12x כדי לקבל ‎-3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

החסר ‎16y משני האגפים.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

כנס את ‎20y ו- ‎-16y כדי לקבל ‎4y.

$$-3x+4y-5=0$$

הוסף ‎5 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$-3x+4y=5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y=10$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y+10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

הוסף את ‎\frac{9y}{4} ל- ‎4y.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

הוסף ‎\frac{15}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{25}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎-\frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5 ב- 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

כנס את ‎60y ו- ‎-40y כדי לקבל ‎20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

החסר ‎12x משני האגפים.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

כנס את ‎9x ו- ‎-12x כדי לקבל ‎-3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

החסר ‎16y משני האגפים.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

כנס את ‎20y ו- ‎-16y כדי לקבל ‎4y.

$$-3x+4y-5=0$$

הוסף ‎5 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$-3x+4y=5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 12, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 15, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -5 ב- 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

כנס את ‎60y ו- ‎-40y כדי לקבל ‎20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

החסר ‎12x משני האגפים.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

כנס את ‎9x ו- ‎-12x כדי לקבל ‎-3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

החסר ‎16y משני האגפים.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

כנס את ‎20y ו- ‎-16y כדי לקבל ‎4y.

$$-3x+4y-5=0$$

הוסף ‎5 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$-3x+4y=5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

פשט.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

החסר את ‎-12x+16y=20 מ- ‎-12x-9y=-30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎12x. האיברים ‎-12x ו- ‎12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9y-16y=-30-20$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎-16y.

$$-25y=-30-20$$

הוסף את ‎-30 ל- ‎-20.

$$-25y=-50$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-25.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎-3x+4y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x+4\times 2=5$$

הכפל את ‎4 ב- ‎2.

$$-3x+8=5$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=2$$