פתור את {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

פתור עבור u, v

$$u=25$$

$$v=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור u על-ידי בידוד u בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$u-30v=-65$$

הוסף ‎30v לשני אגפי המשוואה.

$$u=30v-65$$

השתמש ב- ‎30v-65 במקום ‎u במשוואה השניה, ‎-3u+80v=165.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎30v-65.

$$-90v+195+80v=165$$

הוסף את ‎-90v ל- ‎80v.

$$-10v+195=165$$

החסר ‎195 משני אגפי המשוואה.

$$-10v=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$v=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום v ב- ‎u=30v-65. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את u ישירות.

$$u=30\times 3-65$$

הכפל את ‎30 ב- ‎3.

$$u=90-65$$

הוסף את ‎-65 ל- ‎90.

$$u=25$$

המערכת נפתרה כעת.

$$u=25,v=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה u ו- v.

$$u=25,v=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

כדי להפוך את ‎u ו- ‎-3u לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

פשט.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

החסר את ‎-3u+80v=165 מ- ‎-3u+90v=195 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

הוסף את ‎-3u ל- ‎3u. האיברים ‎-3u ו- ‎3u מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$90v-80v=195-165$$

הוסף את ‎90v ל- ‎-80v.

$$10v=195-165$$

הוסף את ‎195 ל- ‎-165.

$$10v=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$v=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום v ב- ‎-3u+80v=165. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את u ישירות.

$$-3u+80\times 3=165$$

הכפל את ‎80 ב- ‎3.

$$-3u+240=165$$

החסר ‎240 משני אגפי המשוואה.

$$-3u=-75$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$u=25$$

המערכת נפתרה כעת.

$$u=25,v=3$$