פתור את {r}{7x+3y=-15}{12y-5x=39}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 7 x + 3 y = - 15 } \\ { 12 y - 5 x = 39 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+3y=-15$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-3y-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y-15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-3y-15.

$$x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y-15}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-5x+12y=39.

$$-5\left(-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}\right)+12y=39$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{-3y-15}{7}.

$$\frac{15}{7}y+\frac{75}{7}+12y=39$$

הוסף את ‎\frac{15y}{7} ל- ‎12y.

$$\frac{99}{7}y+\frac{75}{7}=39$$

החסר ‎\frac{75}{7} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{99}{7}y=\frac{198}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{99}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{7}\times 2-\frac{15}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{7} ב- ‎2.

$$x=\frac{-6-15}{7}$$

הוסף את ‎-\frac{15}{7} ל- ‎-\frac{6}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7\times 12-3\left(-5\right)}&-\frac{3}{7\times 12-3\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{7\times 12-3\left(-5\right)}&\frac{7}{7\times 12-3\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}&-\frac{1}{33}\\\frac{5}{99}&\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}\left(-15\right)-\frac{1}{33}\times 39\\\frac{5}{99}\left(-15\right)+\frac{7}{99}\times 39\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎-5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$-5\times 7x-5\times 3y=-5\left(-15\right),7\left(-5\right)x+7\times 12y=7\times 39$$

פשט.

$$-35x-15y=75,-35x+84y=273$$

החסר את ‎-35x+84y=273 מ- ‎-35x-15y=75 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-35x+35x-15y-84y=75-273$$

הוסף את ‎-35x ל- ‎35x. האיברים ‎-35x ו- ‎35x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15y-84y=75-273$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-84y.

$$-99y=75-273$$

הוסף את ‎75 ל- ‎-273.

$$-99y=-198$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-99.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎-5x+12y=39. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-5x+12\times 2=39$$

הכפל את ‎12 ב- ‎2.

$$-5x+24=39$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$-5x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=2$$