פתור את {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור p, q

$$p=2$$

$$q=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור p על-ידי בידוד p בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5p-q=7$$

הוסף ‎q לשני אגפי המשוואה.

$$5p=q+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎q+7.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{7+q}{5} במקום ‎p במשוואה השניה, ‎-2p+3q=5.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{7+q}{5}.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

הוסף את ‎-\frac{2q}{5} ל- ‎3q.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

הוסף ‎\frac{14}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{13}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$q=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום q ב- ‎p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את p ישירות.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎3.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

הוסף את ‎\frac{7}{5} ל- ‎\frac{3}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$p=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$p=2,q=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה p ו- q.

$$p=2,q=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

כדי להפוך את ‎5p ו- ‎-2p לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

פשט.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

החסר את ‎-10p+15q=25 מ- ‎-10p+2q=-14 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

הוסף את ‎-10p ל- ‎10p. האיברים ‎-10p ו- ‎10p מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2q-15q=-14-25$$

הוסף את ‎2q ל- ‎-15q.

$$-13q=-14-25$$

הוסף את ‎-14 ל- ‎-25.

$$-13q=-39$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-13.

$$q=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום q ב- ‎-2p+3q=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את p ישירות.

$$-2p+3\times 3=5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎3.

$$-2p+9=5$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$-2p=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$p=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$p=2,q=3$$