פתור את {r}{2x+5y=9}{x-y=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 2 x + 5 y = 9 } \\ { x - y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{34}{7} = 4\frac{6}{7} \approx 4.857142857$$

$$y=-\frac{1}{7}\approx -0.142857143$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+5y=9$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5y+9.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+9}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=5.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}-y=5$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{2} ל- ‎-y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{9}{2}=5$$

החסר ‎\frac{9}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{2}y=\frac{1}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{1}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{7} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{1}{7}\right)+\frac{9}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎-\frac{1}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{5}{14}+\frac{9}{2}$$

הוסף את ‎\frac{9}{2} ל- ‎\frac{5}{14} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{34}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-5}&-\frac{5}{2\left(-1\right)-5}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 9+\frac{5}{7}\times 5\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{7}\\-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x+5y=9,2x+2\left(-1\right)y=2\times 5$$

פשט.

$$2x+5y=9,2x-2y=10$$

החסר את ‎2x-2y=10 מ- ‎2x+5y=9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+5y+2y=9-10$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y+2y=9-10$$

הוסף את ‎5y ל- ‎2y.

$$7y=9-10$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-10.

$$7y=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=-\frac{1}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{7} במקום y ב- ‎x-y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-\left(-\frac{1}{7}\right)=5$$

החסר ‎\frac{1}{7} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{34}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$