פתור את {r}{3x-2y/3+4y=13/3}{2(-2y+x)/3-3x/2=-frac{13}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 3 x - 2 y } { 3 } + 4 y = \frac { 13 } { 3 } } \\ { \frac { 2 ( - 2 y + x ) } { 3 } - \frac { 3 x } { 2 } = - \frac { 13 } { 6 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$3x-2y+12y=13$$

כנס את ‎-2y ו- ‎12y כדי לקבל ‎10y.

$$3x+10y=13$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

הכפל את ‎2 ו- ‎2 כדי לקבל ‎4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

הכפל את ‎-3 ו- ‎3 כדי לקבל ‎-9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

כנס את ‎4x ו- ‎-9x כדי לקבל ‎-5x.

$$-8y-5x=-13$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+10y=13$$

החסר ‎10y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-10y+13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+13\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-10y+13.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-10y+13}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-5x-8y=-13.

$$-5\left(-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}\right)-8y=-13$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{-10y+13}{3}.

$$\frac{50}{3}y-\frac{65}{3}-8y=-13$$

הוסף את ‎\frac{50y}{3} ל- ‎-8y.

$$\frac{26}{3}y-\frac{65}{3}=-13$$

הוסף ‎\frac{65}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{26}{3}y=\frac{26}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{26}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{-10+13}{3}$$

הוסף את ‎\frac{13}{3} ל- ‎-\frac{10}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$3x-2y+12y=13$$

כנס את ‎-2y ו- ‎12y כדי לקבל ‎10y.

$$3x+10y=13$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

הכפל את ‎2 ו- ‎2 כדי לקבל ‎4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

הכפל את ‎-3 ו- ‎3 כדי לקבל ‎-9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

כנס את ‎4x ו- ‎-9x כדי לקבל ‎-5x.

$$-8y-5x=-13$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{5}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\times 13-\frac{5}{13}\left(-13\right)\\\frac{5}{26}\times 13+\frac{3}{26}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$3x-2y+12y=13$$

כנס את ‎-2y ו- ‎12y כדי לקבל ‎10y.

$$3x+10y=13$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

הכפל את ‎2 ו- ‎2 כדי לקבל ‎4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

הכפל את ‎-3 ו- ‎3 כדי לקבל ‎-9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

כנס את ‎4x ו- ‎-9x כדי לקבל ‎-5x.

$$-8y-5x=-13$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-5\times 3x-5\times 10y=-5\times 13,3\left(-5\right)x+3\left(-8\right)y=3\left(-13\right)$$

פשט.

$$-15x-50y=-65,-15x-24y=-39$$

החסר את ‎-15x-24y=-39 מ- ‎-15x-50y=-65 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-15x+15x-50y+24y=-65+39$$

הוסף את ‎-15x ל- ‎15x. האיברים ‎-15x ו- ‎15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-50y+24y=-65+39$$

הוסף את ‎-50y ל- ‎24y.

$$-26y=-65+39$$

הוסף את ‎-65 ל- ‎39.

$$-26y=-26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-26.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎-5x-8y=-13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-5x-8=-13$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$-5x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=1$$