\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 2 x - 1 } { 2 } + \frac { y - 3 } { 3 } = \frac { 11 } { 6 } } \\ { - \frac { 2 x } { 5 } + \frac { y - 1 } { 10 } = - \frac { 6 } { 5 } } \end{array} \right.
פתור עבור x, y
x=3
y=1
גרף
שתף
הועתק ללוח
3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3,6.
6x-3+2\left(y-3\right)=11
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 2x-1.
6x-3+2y-6=11
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y-3.
6x-9+2y=11
החסר את 6 מ- -3 כדי לקבל -9.
6x+2y=11+9
הוסף 9 משני הצדדים.
6x+2y=20
חבר את 11 ו- 9 כדי לקבל 20.
-2\times 2x+y-1=-12
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 10, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,10.
-4x+y-1=-12
הכפל את -2 ו- 2 כדי לקבל -4.
-4x+y=-12+1
הוסף 1 משני הצדדים.
-4x+y=-11
חבר את -12 ו- 1 כדי לקבל -11.
6x+2y=20,-4x+y=-11
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
6x+2y=20
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
6x=-2y+20
החסר 2y משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{6}\left(-2y+20\right)
חלק את שני האגפים ב- 6.
x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}
הכפל את \frac{1}{6} ב- -2y+20.
-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+y=-11
השתמש ב- \frac{-y+10}{3} במקום x במשוואה השניה, -4x+y=-11.
\frac{4}{3}y-\frac{40}{3}+y=-11
הכפל את -4 ב- \frac{-y+10}{3}.
\frac{7}{3}y-\frac{40}{3}=-11
הוסף את \frac{4y}{3} ל- y.
\frac{7}{3}y=\frac{7}{3}
הוסף \frac{40}{3} לשני אגפי המשוואה.
y=1
חלק את שני אגפי המשוואה ב- \frac{7}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=\frac{-1+10}{3}
השתמש ב- 1 במקום y ב- x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=3
הוסף את \frac{10}{3} ל- -\frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=3,y=1
המערכת נפתרה כעת.
3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3,6.
6x-3+2\left(y-3\right)=11
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 2x-1.
6x-3+2y-6=11
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y-3.
6x-9+2y=11
החסר את 6 מ- -3 כדי לקבל -9.
6x+2y=11+9
הוסף 9 משני הצדדים.
6x+2y=20
חבר את 11 ו- 9 כדי לקבל 20.
-2\times 2x+y-1=-12
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 10, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,10.
-4x+y-1=-12
הכפל את -2 ו- 2 כדי לקבל -4.
-4x+y=-12+1
הוסף 1 משני הצדדים.
-4x+y=-11
חבר את -12 ו- 1 כדי לקבל -11.
6x+2y=20,-4x+y=-11
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{6-2\left(-4\right)}&\frac{6}{6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 20-\frac{1}{7}\left(-11\right)\\\frac{2}{7}\times 20+\frac{3}{7}\left(-11\right)\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=3,y=1
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11
שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 6, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 2,3,6.
6x-3+2\left(y-3\right)=11
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 2x-1.
6x-3+2y-6=11
השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y-3.
6x-9+2y=11
החסר את 6 מ- -3 כדי לקבל -9.
6x+2y=11+9
הוסף 9 משני הצדדים.
6x+2y=20
חבר את 11 ו- 9 כדי לקבל 20.
-2\times 2x+y-1=-12
שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני הצדדים של המשוואה ב- 10, הכפולה המשותפת הנמוכה ביותר של 5,10.
-4x+y-1=-12
הכפל את -2 ו- 2 כדי לקבל -4.
-4x+y=-12+1
הוסף 1 משני הצדדים.
-4x+y=-11
חבר את -12 ו- 1 כדי לקבל -11.
6x+2y=20,-4x+y=-11
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
-4\times 6x-4\times 2y=-4\times 20,6\left(-4\right)x+6y=6\left(-11\right)
כדי להפוך את 6x ו- -4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- -4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 6.
-24x-8y=-80,-24x+6y=-66
פשט.
-24x+24x-8y-6y=-80+66
החסר את -24x+6y=-66 מ- -24x-8y=-80 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
-8y-6y=-80+66
הוסף את -24x ל- 24x. האיברים -24x ו- 24x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
-14y=-80+66
הוסף את -8y ל- -6y.
-14y=-14
הוסף את -80 ל- 66.
y=1
חלק את שני האגפים ב- -14.
-4x+1=-11
השתמש ב- 1 במקום y ב- -4x+y=-11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
-4x=-12
החסר 1 משני אגפי המשוואה.
x=3
חלק את שני האגפים ב- -4.
x=3,y=1
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}