פתור את {l}{y=x-18}{y=15x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 18 } \\ { y = 15 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1.285714286$$

$$y = -\frac{135}{7} = -19\frac{2}{7} \approx -19.285714286$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-18$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎15x משני האגפים.

$$y-15x=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-x=-18$$

הוסף ‎x לשני אגפי המשוואה.

$$y=x-18$$

השתמש ב- ‎x-18 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-15x=0.

$$x-18-15x=0$$

הוסף את ‎x ל- ‎-15x.

$$-14x-18=0$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$-14x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-14.

$$x=-\frac{9}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{9}{7} במקום x ב- ‎y=x-18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{9}{7}-18$$

הוסף את ‎-18 ל- ‎-\frac{9}{7}.

$$y=-\frac{135}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-18$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎15x משני האגפים.

$$y-15x=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-15-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-15-\left(-1\right)}&\frac{1}{-15-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{14}&-\frac{1}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{14}\left(-18\right)\\\frac{1}{14}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{135}{7}\\-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-18$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎15x משני האגפים.

$$y-15x=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

החסר את ‎y-15x=0 מ- ‎y-x=-18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-x+15x=-18$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-x+15x=-18$$

הוסף את ‎-x ל- ‎15x.

$$14x=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎14.

$$x=-\frac{9}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{9}{7} במקום x ב- ‎y-15x=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-15\left(-\frac{9}{7}\right)=0$$

הכפל את ‎-15 ב- ‎-\frac{9}{7}.

$$y+\frac{135}{7}=0$$

החסר ‎\frac{135}{7} משני אגפי המשוואה.

$$y=-\frac{135}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$