פתור את {l}{y=x-18}{y=1/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 18 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=24$$

$$y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-18$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{4}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{4}x=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-x=-18,y-\frac{1}{4}x=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-x=-18$$

הוסף ‎x לשני אגפי המשוואה.

$$y=x-18$$

השתמש ב- ‎x-18 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-\frac{1}{4}x=0.

$$x-18-\frac{1}{4}x=0$$

הוסף את ‎x ל- ‎-\frac{x}{4}.

$$\frac{3}{4}x-18=0$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{4}x=18$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=24$$

השתמש ב- ‎24 במקום x ב- ‎y=x-18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=24-18$$

הוסף את ‎-18 ל- ‎24.

$$y=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=6,x=24$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-18$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{4}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{4}x=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-x=-18,y-\frac{1}{4}x=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\-\frac{4}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\24\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=6,x=24$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-18$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{1}{4}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{4}x=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-x=-18,y-\frac{1}{4}x=0$$

החסר את ‎y-\frac{1}{4}x=0 מ- ‎y-x=-18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-x+\frac{1}{4}x=-18$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-x+\frac{1}{4}x=-18$$

הוסף את ‎-x ל- ‎\frac{x}{4}.

$$-\frac{3}{4}x=-18$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=24$$

השתמש ב- ‎24 במקום x ב- ‎y-\frac{1}{4}x=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-\frac{1}{4}\times 24=0$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎24.

$$y-6=0$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$y=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=6,x=24$$