פתור את {l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה ובנוסחה ריבועית

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎kx משני האגפים.

$$y-kx=b$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎4.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

פתור את ‎y+\left(-k\right)x=b עבור ‎y על-ידי בידוד ‎y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

החסר ‎\left(-k\right)x משני אגפי המשוואה.

$$y=kx+b$$

השתמש ב- ‎kx+b במקום ‎y במשוואה השניה, ‎x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

‎kx+b בריבוע.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

הכפל את ‎4 ב- ‎k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

הוסף את ‎x^{2} ל- ‎4k^{2}x^{2}.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1+4k^{2} במקום a, ב- 4\times 2kb במקום b, וב- -4+4b^{2} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

‎4\times 2kb בריבוע.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1+4k^{2}.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

הכפל את ‎-4-16k^{2} ב- ‎-4+4b^{2}.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

הוסף את ‎64k^{2}b^{2} ל- ‎-16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right).

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של -16b^{2}+64k^{2}+16.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎1+4k^{2}.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-8kb ל- ‎4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

חלק את ‎-8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} ב- ‎2+8k^{2}.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} מ- ‎-8kb.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

חלק את ‎-8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} ב- ‎2+8k^{2}.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

ישנם שני פתרונות עבור ‎x‏: ‎\frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ו- ‎-\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}. השתמש ב- ‎\frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} במקום ‎x במשוואה ‎y=kx+b כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎y שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

הכפל את ‎k ב- ‎\frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

כעת השתמש ב- ‎-\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} במקום ‎x במשוואה y=kx+b ופתור כדי למצוא את הפתרון המתאים עבור ‎y שנותן מענה לשתי המשוואות.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

הכפל את ‎k ב- ‎-\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$