פתור את {l}{y=5x}{3(x+12)=y+12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 5 x } \\ { 3 ( x + 12 ) = y + 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=12$$

$$y=60$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎5x משני האגפים.

$$y-5x=0$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+12.

$$3x+36=y+12$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$3x+36-y=12$$

החסר ‎36 משני האגפים.

$$3x-y=12-36$$

החסר את 36 מ- 12 כדי לקבל -24.

$$3x-y=-24$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-5x=0,-y+3x=-24$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-5x=0$$

הוסף ‎5x לשני אגפי המשוואה.

$$y=5x$$

השתמש ב- ‎5x במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-y+3x=-24.

$$-5x+3x=-24$$

הוסף את ‎-5x ל- ‎3x.

$$-2x=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=12$$

השתמש ב- ‎12 במקום x ב- ‎y=5x. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=5\times 12$$

הכפל את ‎5 ב- ‎12.

$$y=60$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=60,x=12$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎5x משני האגפים.

$$y-5x=0$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+12.

$$3x+36=y+12$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$3x+36-y=12$$

החסר ‎36 משני האגפים.

$$3x-y=12-36$$

החסר את 36 מ- 12 כדי לקבל -24.

$$3x-y=-24$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-5x=0,-y+3x=-24$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{3-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{3-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&-\frac{5}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\left(-24\right)\\-\frac{1}{2}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\12\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=60,x=12$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎5x משני האגפים.

$$y-5x=0$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- x+12.

$$3x+36=y+12$$

החסר ‎y משני האגפים.

$$3x+36-y=12$$

החסר ‎36 משני האגפים.

$$3x-y=12-36$$

החסר את 36 מ- 12 כדי לקבל -24.

$$3x-y=-24$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-5x=0,-y+3x=-24$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎-y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-y-\left(-5x\right)=0,-y+3x=-24$$

פשט.

$$-y+5x=0,-y+3x=-24$$

החסר את ‎-y+3x=-24 מ- ‎-y+5x=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-y+y+5x-3x=24$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5x-3x=24$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-3x.

$$2x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=12$$

השתמש ב- ‎12 במקום x ב- ‎-y+3x=-24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-y+3\times 12=-24$$

הכפל את ‎3 ב- ‎12.

$$-y+36=-24$$

החסר ‎36 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=60$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=60,x=12$$