פתור את {l}{y=4x+5}{y=8x+9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { y = 8 x + 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=-1$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎8x משני האגפים.

$$y-8x=9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-4x=5$$

הוסף ‎4x לשני אגפי המשוואה.

$$y=4x+5$$

השתמש ב- ‎4x+5 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-8x=9.

$$4x+5-8x=9$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-8x.

$$-4x+5=9$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$-4x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎y=4x+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=4\left(-1\right)+5$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-1.

$$y=-4+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-4.

$$y=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=1,x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎8x משני האגפים.

$$y-8x=9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-8-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-8-\left(-4\right)}&\frac{1}{-8-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5-9\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=1,x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=5$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎8x משני האגפים.

$$y-8x=9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

החסר את ‎y-8x=9 מ- ‎y-4x=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y-4x+8x=5-9$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4x+8x=5-9$$

הוסף את ‎-4x ל- ‎8x.

$$4x=5-9$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-9.

$$4x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎y-8x=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-8\left(-1\right)=9$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-1.

$$y+8=9$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$y=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=1,x=-1$$