פתור את {l}{y=4x+5}{4x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y-4x=5$$

הוסף ‎4x לשני אגפי המשוואה.

$$y=4x+5$$

השתמש ב- ‎4x+5 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎-3y+4x=3.

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎4x+5.

$$-12x-15+4x=3$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎4x.

$$-8x-15=3$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$-8x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{9}{4} במקום x ב- ‎y=4x+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{9}{4}.

$$y=-9+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-9.

$$y=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎-3y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

פשט.

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

החסר את ‎-3y+4x=3 מ- ‎-3y+12x=-15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎3y. האיברים ‎-3y ו- ‎3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12x-4x=-15-3$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-4x.

$$8x=-15-3$$

הוסף את ‎-15 ל- ‎-3.

$$8x=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{9}{4} במקום x ב- ‎-3y+4x=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{9}{4}.

$$-3y-9=3$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$-3y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$