\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x - 5 } \\ { y = - 4 x + 7 } \end{array} \right.
פתור עבור y, x
x=2
y=-1
גרף
שתף
הועתק ללוח
y-2x=-5
שקול את המשוואה הראשונה. החסר 2x משני האגפים.
y+4x=7
שקול את המשוואה השניה. הוסף 4x משני הצדדים.
y-2x=-5,y+4x=7
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
y-2x=-5
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.
y=2x-5
הוסף 2x לשני אגפי המשוואה.
2x-5+4x=7
השתמש ב- 2x-5 במקום y במשוואה השניה, y+4x=7.
6x-5=7
הוסף את 2x ל- 4x.
6x=12
הוסף 5 לשני אגפי המשוואה.
x=2
חלק את שני האגפים ב- 6.
y=2\times 2-5
השתמש ב- 2 במקום x ב- y=2x-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.
y=4-5
הכפל את 2 ב- 2.
y=-1
הוסף את -5 ל- 4.
y=-1,x=2
המערכת נפתרה כעת.
y-2x=-5
שקול את המשוואה הראשונה. החסר 2x משני האגפים.
y+4x=7
שקול את המשוואה השניה. הוסף 4x משני הצדדים.
y-2x=-5,y+4x=7
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-2\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)
עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}\times 7\\-\frac{1}{6}\left(-5\right)+\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
y=-1,x=2
חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.
y-2x=-5
שקול את המשוואה הראשונה. החסר 2x משני האגפים.
y+4x=7
שקול את המשוואה השניה. הוסף 4x משני הצדדים.
y-2x=-5,y+4x=7
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
y-y-2x-4x=-5-7
החסר את y+4x=7 מ- y-2x=-5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
-2x-4x=-5-7
הוסף את y ל- -y. האיברים y ו- -y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
-6x=-5-7
הוסף את -2x ל- -4x.
-6x=-12
הוסף את -5 ל- -7.
x=2
חלק את שני האגפים ב- -6.
y+4\times 2=7
השתמש ב- 2 במקום x ב- y+4x=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.
y+8=7
הכפל את 4 ב- 2.
y=-1
החסר 8 משני אגפי המשוואה.
y=-1,x=2
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}