פתור את {l}{y=-2x+1}{y=4x-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=1$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=1$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=-5$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+2x=1$$

החסר ‎2x משני אגפי המשוואה.

$$y=-2x+1$$

השתמש ב- ‎-2x+1 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-4x=-5.

$$-2x+1-4x=-5$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎-4x.

$$-6x+1=-5$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-6x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎y=-2x+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-2+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-2.

$$y=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-1,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=1$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=-5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-1,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2x משני הצדדים.

$$y+2x=1$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$y-4x=-5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

החסר את ‎y-4x=-5 מ- ‎y+2x=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y+2x+4x=1+5$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x+4x=1+5$$

הוסף את ‎2x ל- ‎4x.

$$6x=1+5$$

הוסף את ‎1 ל- ‎5.

$$6x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎y-4x=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-4=-5$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$y=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-1,x=1$$