פתור את {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. צמצם את השבר ‎\frac{4}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

השתמש ב- ‎-\frac{2x}{3}-5 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎5y+8x=-45.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{2x}{3}-5.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

הוסף את ‎-\frac{10x}{3} ל- ‎8x.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

הוסף ‎25 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{14}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{30}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{30}{7} במקום x ב- ‎y=-\frac{2}{3}x-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎-\frac{30}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎\frac{20}{7}.

$$y=-\frac{15}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. צמצם את השבר ‎\frac{4}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

הוסף ‎\frac{2}{3}x משני הצדדים.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. צמצם את השבר ‎\frac{4}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

הוסף ‎\frac{2}{3}x משני הצדדים.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎5y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

פשט.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

החסר את ‎5y+8x=-45 מ- ‎5y+\frac{10}{3}x=-25 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-5y. האיברים ‎5y ו- ‎-5y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

הוסף את ‎\frac{10x}{3} ל- ‎-8x.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

הוסף את ‎-25 ל- ‎45.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{14}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{30}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{30}{7} במקום x ב- ‎5y+8x=-45. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-\frac{30}{7}.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

הוסף ‎\frac{240}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-\frac{15}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$