פתור את {l}{y=-3/4x+3/4}{y=4/3x+11/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 3 } { 4 } } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x + \frac { 11 } { 3 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎\frac{3}{4}x משני הצדדים.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{4}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

החסר ‎\frac{3x}{4} משני אגפי המשוואה.

$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3x+3}{4} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{3x}{4} ל- ‎-\frac{4x}{3}.

$$-\frac{25}{12}x+\frac{3}{4}=\frac{11}{3}$$

החסר ‎\frac{3}{4} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{25}{12}x=\frac{35}{12}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{25}{12}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{7}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7}{5} במקום x ב- ‎y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{3}{4}\left(-\frac{7}{5}\right)+\frac{3}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎-\frac{7}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{21}{20}+\frac{3}{4}$$

הוסף את ‎\frac{3}{4} ל- ‎\frac{21}{20} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{9}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎\frac{3}{4}x משני הצדדים.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{4}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}&\frac{9}{25}\\\frac{12}{25}&-\frac{12}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}\times \frac{3}{4}+\frac{9}{25}\times \frac{11}{3}\\\frac{12}{25}\times \frac{3}{4}-\frac{12}{25}\times \frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎\frac{3}{4}x משני הצדדים.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎\frac{4}{3}x משני האגפים.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

החסר את ‎y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3} מ- ‎y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$y-y+\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

הוסף את ‎\frac{3x}{4} ל- ‎\frac{4x}{3}.

$$\frac{25}{12}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

הוסף את ‎\frac{3}{4} ל- ‎-\frac{11}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$\frac{25}{12}x=-\frac{35}{12}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{25}{12}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{7}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{7}{5} במקום x ב- ‎y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y-\frac{4}{3}\left(-\frac{7}{5}\right)=\frac{11}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎-\frac{7}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y+\frac{28}{15}=\frac{11}{3}$$

החסר ‎\frac{28}{15} משני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{9}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$