פתור את {l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. ניתן לכתוב את השבר ‎\frac{-4}{5} כ- ‎-\frac{4}{5} על-ידי חילוץ הסימן השלילי.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

השתמש ב- ‎-\frac{4x}{5}-9 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎3y+8x=-45.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{4x}{5}-9.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

הוסף את ‎-\frac{12x}{5} ל- ‎8x.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

הוסף ‎27 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{28}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{45}{14}$$

השתמש ב- ‎-\frac{45}{14} במקום x ב- ‎y=-\frac{4}{5}x-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

הכפל את ‎-\frac{4}{5} ב- ‎-\frac{45}{14} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

הוסף את ‎-9 ל- ‎\frac{18}{7}.

$$y=-\frac{45}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. ניתן לכתוב את השבר ‎\frac{-4}{5} כ- ‎-\frac{4}{5} על-ידי חילוץ הסימן השלילי.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

הוסף ‎\frac{4}{5}x משני הצדדים.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{8x}{3} משני הצדדים.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$3y+8x=-45$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. ניתן לכתוב את השבר ‎\frac{-4}{5} כ- ‎-\frac{4}{5} על-ידי חילוץ הסימן השלילי.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

הוסף ‎\frac{4}{5}x משני הצדדים.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{8x}{3} משני הצדדים.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎3.

$$3y+8x=-45$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

כדי להפוך את ‎y ו- ‎3y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

פשט.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

החסר את ‎3y+8x=-45 מ- ‎3y+\frac{12}{5}x=-27 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

הוסף את ‎\frac{12x}{5} ל- ‎-8x.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

הוסף את ‎-27 ל- ‎45.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{28}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{45}{14}$$

השתמש ב- ‎-\frac{45}{14} במקום x ב- ‎3y+8x=-45. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-\frac{45}{14}.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

הוסף ‎\frac{180}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-\frac{45}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$