פתור את {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. המשתנה x_{1} אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

החסר ‎2x_{1} משני האגפים.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x_{1} על-ידי בידוד x_{1} בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

החסר ‎x_{2} משני אגפי המשוואה.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

השתמש ב- ‎-x_{2}+97 במקום ‎x_{1} במשוואה השניה, ‎-2x_{1}+x_{2}=0.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-x_{2}+97.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

הוסף את ‎2x_{2} ל- ‎x_{2}.

$$3x_{2}-194=0$$

הוסף ‎194 לשני אגפי המשוואה.

$$3x_{2}=194$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{194}{3} במקום x_{2} ב- ‎x_{1}=-x_{2}+97. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x_{1} ישירות.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

הוסף את ‎97 ל- ‎-\frac{194}{3}.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. המשתנה x_{1} אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

החסר ‎2x_{1} משני האגפים.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x_{1} ו- x_{2}.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. המשתנה x_{1} אינו יכול להיות שווה ל- ‎0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

החסר ‎2x_{1} משני האגפים.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

החסר את ‎-2x_{1}+x_{2}=0 מ- ‎x_{1}+x_{2}=97 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

הוסף את ‎x_{2} ל- ‎-x_{2}. האיברים ‎x_{2} ו- ‎-x_{2} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

הוסף את ‎x_{1} ל- ‎2x_{1}.

$$3x_{1}=97$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{97}{3} במקום x_{1} ב- ‎-2x_{1}+x_{2}=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x_{2} ישירות.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{97}{3}.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

הוסף ‎\frac{194}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$