פתור את {l}{x-y=60}{2x=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 60 } \\ { 2 x = y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-60$$

$$y=-120$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$2x-y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=60,2x-y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=60$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y+60$$

השתמש ב- ‎y+60 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-y=0.

$$2\left(y+60\right)-y=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎y+60.

$$2y+120-y=0$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-y.

$$y+120=0$$

החסר ‎120 משני אגפי המשוואה.

$$y=-120$$

השתמש ב- ‎-120 במקום y ב- ‎x=y+60. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-120+60$$

הוסף את ‎60 ל- ‎-120.

$$x=-60$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-60,y=-120$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$2x-y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=60,2x-y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-60\\-2\times 60\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-60\\-120\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-60,y=-120$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$2x-y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=60,2x-y=0$$

החסר את ‎2x-y=0 מ- ‎x-y=60 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$x-2x-y+y=60$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$x-2x=60$$

הוסף את ‎x ל- ‎-2x.

$$-x=60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-60$$

השתמש ב- ‎-60 במקום x ב- ‎2x-y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2\left(-60\right)-y=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-60.

$$-120-y=0$$

הוסף ‎120 לשני אגפי המשוואה.

$$-y=120$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-120$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-60,y=-120$$