פתור את {l}{x-y=3}{3x+y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { 3 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=3,3x+y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=3$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y+3$$

השתמש ב- ‎y+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=8.

$$3\left(y+3\right)+y=8$$

הכפל את ‎3 ב- ‎y+3.

$$3y+9+y=8$$

הוסף את ‎3y ל- ‎y.

$$4y+9=8$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$4y=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-\frac{1}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{4} במקום y ב- ‎x=y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{4}+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-\frac{1}{4}.

$$x=\frac{11}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=3,3x+y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 8\\-\frac{3}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{4}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=3,3x+y=8$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\times 3,3x+y=8$$

פשט.

$$3x-3y=9,3x+y=8$$

החסר את ‎3x+y=8 מ- ‎3x-3y=9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x-3y-y=9-8$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y-y=9-8$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-y.

$$-4y=9-8$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-8.

$$-4y=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=-\frac{1}{4}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{4} במקום y ב- ‎3x+y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-\frac{1}{4}=8$$

הוסף ‎\frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{33}{4}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{11}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$