פתור את {l}{x-y=3}{2x+0,5y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { 2 x + 0,5 y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2.2$$

$$y=-0.8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=3,2x+0.5y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=3$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y+3$$

השתמש ב- ‎y+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+0.5y=4.

$$2\left(y+3\right)+0.5y=4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎y+3.

$$2y+6+0.5y=4$$

הוסף את ‎2y ל- ‎\frac{y}{2}.

$$2.5y+6=4$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$2.5y=-2$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-0.8$$

השתמש ב- ‎-0.8 במקום y ב- ‎x=y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-0.8+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-0.8.

$$x=2.2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2.2,y=-0.8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=3,2x+0.5y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\2&0.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.5}{0.5-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{0.5-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{0.5-\left(-2\right)}&\frac{1}{0.5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.2&0.4\\-0.8&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.2\times 3+0.4\times 4\\-0.8\times 3+0.4\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.2\\-0.8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2.2,y=-0.8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=3,2x+0.5y=4$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 3,2x+0.5y=4$$

פשט.

$$2x-2y=6,2x+0.5y=4$$

החסר את ‎2x+0.5y=4 מ- ‎2x-2y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-2y-0.5y=6-4$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-0.5y=6-4$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-\frac{y}{2}.

$$-2.5y=6-4$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-4.

$$-2.5y=2$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-2.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-0.8$$

השתמש ב- ‎-0.8 במקום y ב- ‎2x+0.5y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+0.5\left(-0.8\right)=4$$

הכפל את ‎0.5 ב- ‎-0.8 על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2x-0.4=4$$

הוסף ‎0.4 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=4.4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=2.2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2.2,y=-0.8$$