פתור את {l}{x-y=2x}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 x } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=16$$

$$y=-16$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$x-y-2x=0$$

כנס את ‎x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-x.

$$-x-y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$-x-y=0$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$-x=y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-y$$

השתמש ב- ‎-y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=16.

$$2\left(-1\right)y+y=16$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-y.

$$-2y+y=16$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎y.

$$-y=16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-16$$

השתמש ב- ‎-16 במקום y ב- ‎x=-y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-16\right)$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-16.

$$x=16$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=16,y=-16$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$x-y-2x=0$$

כנס את ‎x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-x.

$$-x-y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-16\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=16,y=-16$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$x-y-2x=0$$

כנס את ‎x ו- ‎-2x כדי לקבל ‎-x.

$$-x-y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

כדי להפוך את ‎-x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎-1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=0,-2x-y=-16$$

פשט.

$$-2x-2y=0,-2x-y=-16$$

החסר את ‎-2x-y=-16 מ- ‎-2x-2y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x-2y+y=16$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y+y=16$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎y.

$$-y=16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-16$$

השתמש ב- ‎-16 במקום y ב- ‎2x+y=16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-16=16$$

הוסף ‎16 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=32$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=16$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=16,y=-16$$