פתור את {l}{x-y=2}{2x=3(y-1)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 2 x = 3 ( y - 1 ) } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y-1.

$$2x=3y-3$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x-3y=-3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-y=2,2x-3y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-y=2$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$x=y+2$$

השתמש ב- ‎y+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-3y=-3.

$$2\left(y+2\right)-3y=-3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎y+2.

$$2y+4-3y=-3$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-3y.

$$-y+4=-3$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=7+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎7.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y-1.

$$2x=3y-3$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x-3y=-3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-y=2,2x-3y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 2-\left(-3\right)\\2\times 2-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y-1.

$$2x=3y-3$$

החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x-3y=-3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-y=2,2x-3y=-3$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2,2x-3y=-3$$

פשט.

$$2x-2y=4,2x-3y=-3$$

החסר את ‎2x-3y=-3 מ- ‎2x-2y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-2y+3y=4+3$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y+3y=4+3$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎3y.

$$y=4+3$$

הוסף את ‎4 ל- ‎3.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎2x-3y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-3\times 7=-3$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎7.

$$2x-21=-3$$

הוסף ‎21 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=7$$